Je bent hier: Hoofdpagina Technieken Hoeken en de waarnemingsbol - een introductie


Wat is een hoek?

Bij het waarnemen van optische verschijnselen en met name astronomie is het noodzakelijk om je de omgeving voor te stellen als een zeer grote bol met richtingen. Richtingen op deze zogenaamde hemelbol of waarnemingsbol worden gegeven door hoeken. Een hoek is een maat voor boogafstand: de "afstand" tussen twee punten op de waarnemingsbol.

Voorbeeld: als je de volumeknop van de radio draait om het geluid te regelen, draai je de knop over een bepaalde hoek. Je kunt niet zeggen dat je hem over een bepaalde afstand verdraaide, want bij rotaties hangen afstanden tussen punten af van hoever die punten zich zelf vanaf het draaipunt bevinden. Je kunt wel zeggen dat je hem over een bepaalde hoek verdraaide, bijvoorbeeld een kwart rond.

Rotaties in de wetenschap worden meestal gemeten in radialen, waarvan er ongeveer 6,28 in een cirkel gaan (tweemaal het getal pi). Deze maat heeft grote voordelen, hoewel die er voor alledaags gebruik niet veel toe doen en daarom is meer algemeen de graad (░), waarvan er 360 in een cirkel gaan.

Het is zeer belangrijk om het concept van hoeken goed te begrijpen voordat je je verdiept in optische verschijnselen, waar alle bogen en halo's in hoekmaten gemeten worden.

De vectors (pijlen) maken hoeken van 60░ met elkaar, want de volledige cirkel is 360░ en er zijn zes gelijke hoeken.

De waarnemingsbol

De waarnemingsbol of hemelbol is een fictieve bol zonder straal (diameter), waar je jezelf in het midden van bevindt. Deze bol beweegt met jou mee en blijft dus altijd gecentreerd rondom jou. Alle voorwerpen om je heen bevinden zich in een bepaalde richting op die bol, die je van een van te voren afgesproken punt op de bol meet, bijvoorbeeld vanaf het punt recht boven je hoofd. Sommige voorwerpen zijn dichtbij, zoals het dak van een huis of een kat op straat waar je langs loopt. Deze voorwerpen veranderen dus redelijk snel van richting op de bol. Andere voorwerpen zoals de zon zijn zeer ver weg en bewegen vrijwel niet over de bol als je rechtuit loopt.

Dit verhaal over de waarnemingsbol klinkt natuurlijk vreemd. Maar je moet proberen op deze abstracte manier te denken als je optische verschijnselen goed wilt bestuderen en verschijnselen niet alleen zien maar ook meten en zelfs in plaats en tijd voorspellen. Alle halo's, regenbogen, polarisatie van de lucht en dergelijke hebben allemaal een bepaalde richting op de waarnemingsbol, in de lucht of op de grond. Je meet de afstanden vanaf het onderwerp dat de halo's veroorzaakt, bijvoorbeeld van de zon af. Het idee van de waarnemingsbol is geenszins voor de hand liggend!

Voorbeeld: bij het je voorstellen van de waarnemingsbol wordt het onmiddellijk duidelijk waarom een regenboog niet met een bui mee beweegt, maar ook niet met het landschap verbonden schijnt. De regenboog ontstaat op een positie op de waarnemingsbol die alleen afhangt van de plaats van de zon en het midden van de bol, waar je oog zich bevindt. Als je je nu beweegt, beweegt de waarnemingsbol met je mee, en dus beweegt de regenboog zich ook met je mee, want de regenboog heeft een vaste positie op de waarnemingsbol afhankelijk van waar de zon staat. Je ziet dan dus de regenboog met je mee bewegen terwijl de achtergrond zich verplaatst. Ook als je stilstaat maar de zon beweegt over de bol beweegt de regenboog over de bol, maar niet als de regenbui beweegt, want die heeft niets met de waarnemingsbol te maken. De regenboog is wel in de bui te zien omdat op die bepaalde plaats de regen valt, maar dit heeft met de positie van de regenboog niets te maken. Alle halo's gedragen zich net zo: de positie hangt alleen af van waar je oog zich bevindt en waar de zon (of andere lichtbron die de halo's veroorzaakt) zich bevindt. Halo's en regenbogen zijn dan ook geen objecten maar beelden, en hebben geen afmetingen maar richtingen.

Bolco÷rdinaten

Om de positie van een voorwerp in de driedimensionale ruimte te beschrijven heb je drie getallen nodig. De meesten kennen het rechthoekig (cartesisch) co÷rdinatenstelsel wel, maar dat is niet altijd geschikt. Bij optische verschijnselen en astronomie is het veel nuttiger bolco÷rdinaten te gebruiken. Hierbij zijn twee van de drie getallen geen afstanden maar hoeken. De drie co÷rdinaten zijn: de elevatiehoek1, de azimutale hoek en de afstand of straal.

Elevatiehoek: dit is de hoek van het voorwerp boven de horizon (heet ook wel hoogtehoek). Voorwerpen onder de horizon hebben een negatieve elevatiehoek. De hoek is een waarde tussen -90░ en +90░.

Azimutale hoek: dit is de "horizontale" hoek tussen een referentiepunt aan de horizon en het voorwerp. Meestal is het referentiepunt het noorden, hoewel ook het punt aan de horizon juist onder de zon (of erboven als de zon onder de horizon is) gebruikt wordt. Deze hoek is een waarde tussen 0░ en +360░ (360░ en 0░ vallen samen).

Afstand (ofwel de straal of radius): de afstand van jou tot het voorwerp, gemeten langs de kortse afstand (de richting die gegeven wordt door de twee hoeken).

Dit co÷rdinatenstelsel is het bolco÷rdinatenstelsel en is zeer belangrijk bij het beschrijven van halo's en hemellichamen (en astronomie in het algemeen).

De waarnemingsbol zoals deze vaak gebruikt wordt bij het beschrijven van optische verschijnselen, om de richtingen van bepaalde verschijnselen te bepalen. Merk op dat omdat halo's geen voorwerpen maar beelden zijn, de straal van de bol niet gegeven is. Een halo heeft echter wel een straal, maar omdat de halo geen voorwerp maar een beeld is, moet deze straal worden uitgedrukt in een hoek (bijvoorbeeld 22o voor de algemene kleine kring).

De figuur hierboven laat deze fictieve waarnemingsbol zien met daarin referentiepunten, bogen en vlakken. Dit zijn:

  • Waarnemer: Dit ben je zelf als waarnemer, in het midden van de bol.

  • Horizontale vlak: dit vlak valt vrijwel samen met de horizon als de waarnemer op zeeniveau is. Het horizontale vlak heeft een elevatiehoek van 0░.

  • Windrichtingen: noord (0░ azimut), oost (90░ azimut), zuid (180░ azimut) en west (270░ azimut) geven vier referentiepunten aan de horizon (eigenlijk: aan het horizontale vlak)

  • Zenit: het punt recht boven de waarnemer dat een elevatiehoek van +90░ heeft (de azimutale hoek is onbepaald voor dit punt).

  • Nadir: het punt recht onder de waarnemer dat een elevatiehoek van -90░ heeft (de azimutale hoek is onbepaald voor dit punt).

  • Zonnepunt: het punt op de waarnemingsbol waar de zon zich bevindt.

  • Tegenzonnepunt: het punt diametraal tegenover de zon (hoekafstand van 180░). Heet ook wel het oppositiepunt.

  • Onderzonnepunt: het punt onder de zon, dat dezelfde azimutale hoek als de zon heeft maar de negatieve elevatiehoek.

  • Anthelisch punt: het punt tegenover de zon maar op dezelfde elevatiehoek (dus 180░ verschil in azimut).

Er liggen altijd twee van de laatste vier punten (zonnepunt, tegenzonnepunt, onderzonnepunt en anthelisch punt) boven het horizontale vlak, en de twee andere er onder. Nooit meer dan twee, en ook nooit minder, tenzij de zon zich op het horizontale vlak bevindt, bij de horizon, waar twee paren punten samenvallen met elkaar. Hoewel er altijd twee punten onder het horizontale vlak liggen, hoeven er niet twee punten onder de horizon van de waarnemer te liggen! De horizon is namelijk niet hetzelfde als het horizontale vlak. Als je op een berg zou staan of in een vliegtuig zit, is de horizon zelfs aanzienlijk lager dan het horizontale vlak, en als je op de maan staat heeft de horizon van de aarde zich samengetrokken tot een klein schijfje (de aarde dus) van een paar graden diameter. Je moet dus onthouden dat het horizontale vlak iets anders is dan de horizon, een verschil dat bij optische verschijnselen dikwijls voor verwarring kan zorgen zonder dat waarnemers het in de gaten hebben.

Afhankelijk van hoe hoog de zon staat, kunnen de vier besproken punten boven of onder het horizontale vlak liggen. 's Nachts liggen het onderzonnepunt en het tegenzonnepunt boven het vlak, terwijl het zonnepunt en het anthelisch punt zich er onder bevinden; overdag is dit andersom. Het oppositielicht bijvoorbeeld is een optisch verschijnsel dat 's nachts te zien kan zijn, omdat het altijd op het tegenzonnepunt zit. Als ander voorbeeld, bij een maansverduistering (eigenlijk ook een optisch verschijnsel) bevindt de maan zich zeer dicht bij het tegenzonnepunt, omdat hier de schaduwkegel van de aarde heen gaat. Als je deze geometrie goed begrijpt zie je meteen in waarom een maansverduistering alleen mogelijk is bij volle maan en je de volle maan alleen kunt zien als de zon onder is.2


1. In de natuur- en wiskunde heeft het zenit een zogeheten poolhoek van 0░, het horizontale vlak 90░ en het nadir 180░, maar bij optische verschijnselen en astronomie is het handiger de elevatiehoek te gebruiken en niet de poolhoek, hoewel beide hetzelfde beschrijven.

2. Door lichtbuiging door de atmosfeer, die een dichtheidsgradient heeft, buigt het licht van hemellichamen aan de horizon ongeveer 0.5░ benedenwaarts. Als je de zon of maan dus net op de horizon ziet staan is deze dus in feite al net onder, omdat de zon en maan een schijnbare diameter hebben van toevallig ongeveer 0.5░. Het is dus mogelijk, zelfs op zeeniveau, om een totale maansverduistering te zien op het moment dat de zon nog net niet onder is.